Математические модели в пространстве состояний

Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторно-матричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид –

где  — вектор состояния размерности , который включает в себя переменные объекта, однозначно определяющие его состояние,

 — вектор управления или входа размерности , который включает в себя сигналы, действующие на систему извне,

 — матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых соответственно ,

 — порядок системы.

Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме –

.

Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.

Но в реальных системах многие компоненты не могут быть измерены или наблюдаемы с помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) –

где  — вектор выхода размерности , который содержит переменные объекта, доступные для наблюдения,

 — матрица параметров размерности  –

в системах управления 

Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме

Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на рис. 1.

Рис. 1

Символ интегрирования на схеме означает покомпонентное интегрирование векторной величины.

В общем виде пространство состояний — мерной системы задается радиус-вектором  в координатной системе, оси которой определяются компонентами вектора состояния, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

Рассмотрим несколько примеров представления процессов в пространстве состояний.

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс пуска электродвигателя (М) постоянного тока с постоянными магнитами, принципиальная схема установки показана на рис. 3. Пуск производится подключением с помощью контакта (К) напряжения , при этом в цепи будет протекать ток  и двигатель будет вращать вал с нагрузкой (Н) со скоростью , ток и скорость определяются с помощью датчиков соответственно ДТ ДС.

Рис. 3

Состояние двигателя в данном случае однозначно определяется током и скоростью двигателя, поэтому вектор состояния задаем в следующем виде –

.

Вектор входа будет иметь только одну компоненту . Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 4.

Рис. 4

На рис. 4 введены обозначения:  — установившиеся значения соответственно скорости и тока,  – максимальное значение тока при пуске.

Сформируем двухмерное пространство состояний двигателя с траекторией движения конца вектора состояния в процессе пуска, для этого откладываем проекции вектора, то есть ток и скорость, в одинаковые моменты времени.

Рис. 5

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс позиционирования, то есть перемещения вала в заданное положение , в автоматизированном электроприводе, показанном на рис. 6.

Рис. 6

В этом случае состояние двигателя и всей системы электропривода в целом определяют три переменные двигателя ток , скорость  и положение вала –

.

Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 7.

Рис. 7

Сформируем трехмерное пространство состояний электропривода с траекторией движения конца вектора состояния в процессе позиционирования по временным графикам изменения компонент вектора состояния.

Рис. 8

Теперь рассмотрим получения математической модели многомерного объекта в виде уравнений состояния на примере двухмассовой упругой механической системы, показанной на рис. 9.

Рис. 9

Двухмассовая упругая система представляет собой механическую систему, состоящую из двух вращающихся масс с моментами инерции  и . К каждой массе прикладывается извне момент ( и ), массы соединены валом, обладающим упругими свойствами (), массы вращаются со скоростями  и .

Система дифференциальных уравнений, описывающих систему, имеет вид –

где  – разность углов положения первой  и второй  масс.

Так как уравнения состояния (1) и выхода (2) имеют единый для всех линейных систем вид, поэтому, чтобы определить их для конкретной системы мы должны выполнить следующее:

• задать векторы состояния и входа, определив тем самым порядок системы и порядок вектора входа,

• определить матрицы параметров уравнений.

Состояние системы определяется тремя переменными , поэтому задаем вектор состояния следующего вида –

.

Порядок системы . Заметим, что положение переменных в векторе состояния можно задать произвольно, но в дальнейшем изменять его нельзя. Вектор входа определяется сигналами, действующими на систему извне, а это – моменты  и , поэтому вектор входа имеет вид –

.

Порядок вектора выхода . Здесь также порядок следования компонент может быть произвольным, но фиксированным в дальнейших операциях.

Преобразуем уравнения системы (3) к форме Коши –

Нам требуется получить уравнение состояния для системы третьего порядка с вектором входа второго порядка, посмотрим, что представляет собой это уравнение в общем виде –

.

Раскрывая матричные скобки, получим –

Теперь можно сформулировать задачу следующего этапа. Необходимо привести систему (4) в виду (5), для этого следует:

• расположить уравнения в порядке следования компонент в векторе состояния,

• расположить слагаемые в правых частях слева на право в порядке следования сначала компонент вектора состояния, затем вектора входа,

• отсутствующие слагаемые заменяем произведениями переменных на нулевые коэффициенты.

В результате коэффициенты в правых частях при соответствующих компонентах векторов состояния и входа будут компонентами искомых матриц уравнения состояния.

Преобразуем систему (4) к виду (5), в результате получим –

В результате по коэффициентам слагаемых в правых частях (6) получим искомые матрицы параметров уравнения состояния –

Уравнение состояния в развернутом виде –

Вид уравнения выхода определяется тем, какие компоненты вектора состояния доступны для наблюдения. В электромеханических системах электроприводов, эквивалентом которых является упругая двухмассовая система, возможны три варианты датчиковых систем (полагаем датчики безынерционными, а коэффициенты преобразования датчиков единичными):

1. Датчики скорости установлены на обеих массах. Тогда имеем следующее уравнение выхода –

То есть имеем ,

1. Датчик скорости установлен на первой массе, уравнение выхода –

, 

1. Датчик скорости установлен на второй массе, уравнение выхода –

, 

Контрольные вопросы и задачи

1. Перечислите компоненты уравнения состояния (векторы и матрицы), их размерности.

2. Поясните смысл уравнения выхода, перечислите компоненты и их размерности.

3. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –

,

полагая векторы состояния и входа –

,

записать уравнение состояния в развернутой форме.

Ответ:

.

1. По уравнению состояния

,

описывающему многомерную систему, определить систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты векторов состояния и входа.

Ответ:

..

1. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –

полагая векторы состояния и входа –

,

записать уравнение состояния в развернутой форме.

Ответ: