- 1. BASIC TERMS OF RELIABILITY THEORY

; . (2.3)

Из [4, 13, 15] известно, что производная от вероятности отказа по времени есть плотность вероятности или дифференциальный закон распределения времени работы объекта до отказа

. (2.4)

Полученная математическая связь позволяет записать

.

Таким образом, зная плотность вероятности ¦ (t), легко найти искомую величину P(t).

На практике достаточно часто приходится определять условную вероятность безотказной работы объекта в заданном интервале времени Р (t ₁ , t ₂ ) при условии, что в момент времени t ₁ объект работоспособен и известны Р (t ₁ ) и Р (t ₂ ). На основании формулы вероятности совместного появления двух зависимых событий, определяемой произведением вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило [4, 13], запишем

, откуда

. (2.5)

По известным статистическим данным можно записать:

,

где N (t ₁ ), N (t ₂ ) - число объектов, работоспособных соответственно к моментам времени t ₁ и t ₂ :

.

Отметим, что не всегда в качестве наработки выступает время (в часах, годах). К примеру, для оценки вероятности безотказной работы коммутационных аппаратов с большим количеством переключений (вакуумный выключатель) в качестве переменной величины наработки целесообразно брать количество циклов "включить" - "выключить". При оценке надежности скользящих контактов удобнее в качестве наработки брать количество проходов токоприемника по этому контакту, а при оценке надежности движущихся объектов наработку целесообразно брать в километрах пробега. Суть математических выражений оценки P(t), Q(t), f(t) при этом остается неизменной.

2.1.2. Средняя наработка до отказа

Средней наработкой до отказа называется математическое ожидание наработки объекта до первого отказа T ₁ .

Вероятностное определение средней наработки до отказа [13] выражается так:

Используя известную связь между f(t), Q(t) и P(t), запишем , а зная, что , получим:

+ .

Полагая, что и учитывая, что Р(о) = 1, получаем:

. (2.6)

Таким образом, средняя наработка до отказа равна площади, образованной кривой вероятности безотказной работы P(t) и осями координат. Статистическая оценка для средней наработки до отказа определяется по формуле

, ч. (2.7)

где N _o - число работоспособных однотипных невосстанавливаемых объектов при

t = 0 (в начале испытания); tj - наработка до отказа j-го объекта.

2.1.3. Интенсивность отказов

Интенсивность отказов - это условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил. Из вероятностного определения следует, что

. (2.8)

Статистическая оценка интенсивности отказов имеет вид :

, (2.9)

где - число отказов однотипных объектов на интервале , для которого определяется ; - число работоспособных объектов в середине интервала (см. рис. 2.2).

,

где N _i - число работоспособных объектов в начале интервала ;

- число работоспособных объектов в конце интервала

Если интервал уменьшается до нулевого значения ( ),то

, (2.10)

где N _о - количество объектов, поставленных на испытания; - интервал, продолжающий время t; - количество отказов на интервале .

Умножив и поделив в формуле (2.10) правую часть на N _о и перейдя к предельно малому значению D t, вместо выражения (2.9), получим

где but

Следовательно,

,

что и записано в вероятностном определении l (t), см. выражение (2.8).

Решение [13] выражения (2.8) дает:

or . (2.11)

Выражение (2.11) показывает связь l (t) и P(t). Из этой связи ясно видно, что по аналитически заданной функции l (t) легко определить P(t) и Т ₁ :

. (2.12)

Если при статистической оценке время эксперимента разбить на достаточно большое количество одинаковых интервалов D t за длительный срок, то результатом обработки опытных данных будет график, изображенный на рис. 2.3.

Как показывают многочисленные данные анализа надежности большинства объектов техники, в том числе и электроустановок, линеаризованная обобщенная зависимость l (t) представляет собой сложную кривую с тремя характерными интервалами (I, II, III). На интервале II (t ₂ - t ₁ ) l = const. Этот интервал может составлять более 10 лет [8], он связан с нормальной эксплуатацией объектов. Интервал I (t ₁ - 0) часто называют периодом приработки элементов. Он может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от уровня организации отбраковки элементов на заводе-изготовителе, где элементы с внутренними дефектами своевременно изымаются из партии выпускаемой продукции. Величина интенсивности отказов на этом интервале во многом зависит от качества сборки схем сложных устройств, соблюдения требований монтажа и т.п. Включение под нагрузку собранных схем приводит к быстрому "выжиганию" дефектных элементов и по истечении некоторого времени t ₁ в схеме остаются только исправные элементы, и их эксплуатация связана с l = const. На интервале III (t > t ₂ ) по причинам, обусловленным естественными процессами старения, изнашивания, коррозии и т.д., интенсивность отказов резко возрастает, увеличивается число деградационных отказов. Для того, чтобы обеспечить l = const необходимо заменить неремонтируемые элементы на исправные новые или работоспособные, отработавшие время t << t ₂ . Интервал
l = const cоответствует экспоненциальной модели распределения вероятности безотказной работы. Эта модель подробно проанализирована в подразделе 3.2. Здесь же отметим, что при l = const значительно упрощается расчет надежности и l наиболее часто используется как исходный показатель надежности элемента [14, 18, 19].

2.1.4. Средняя наработка на отказ

Этот показатель относится к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений - поток восстановлений.

Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов, происшедших за суммарную наработку:

, (2.13)

где t _i - наработка между i-1 и i-м отказами, ч; n(t) - суммарное число отказов за время t.

2.1.5. Параметр потока отказов

Этот показатель также характеризует восстанавливаемый объект и по статистическим данным определяется с помощью формулы:

, (2.14)

где n(t ₁ ) и n(t ₂ ) - количество отказов объекта, зафиксированных соответственно, по истечении времени t ₁ и t ₂ .

Если используются данные об отказах по определенному количеству восстанавливаемых объектов, то

, (2.15)

где - количество отказов по всем объектам за интервал времени ; N _о - количество однотипных объектов, участвующих в эксперименте (отказавший объект восстанавливается, N _о = соnst). Нетрудно увидеть, что выражение (2.14) похоже на выражение (2.8) с той лишь разницей, что при определении предполагается моментальное восстановление отказавшего объекта или замена отказавшего однотипным работоспособным, то есть N _о = соnst.

Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты времени и в течение заданного периода эксплуатации наблюдается поток отказов. Существует множество математических моделей потоков отказов. Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов - пуассоновский поток [13, 15]. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.

Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка , но не зависит от сдвига по оси времени. Следовательно, при вероятность появления n отказов по всем интервалам составит

.

Ординарность случайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, то есть .

Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.

Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно и если старение элементов отсутствует ( l = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.

Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона [4,13, 15]:

при n і 0 (2.16)

где Рn(t) - вероятность возникновения в течение времени t ровно n событий (отказов); l - параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.

Если в выражении (2.16) принять n = 0, то получим - вероятность безотказной работы объекта за время t при интенсивности отказов l = const. Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику l = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, мы обязаны записать w (t) = const; l = w [13]. Это свойство широко используется в расчетах надежности ремонтируемых устройств. В частности, в [9, 10, 14, 18, 21] важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даны в предположении простейших потоков отказов и восстановлений, когда и соответственно .